2.4GHzワイヤレスマウスの電源を入れると「一瞬だけ電源が入る」「その後すぐに電源が切れる」と言う現象が起きました。故障かと思い新しいマウスへ買い換えましたが同じ現象がおきてしまいます。「これはおかしい」と言うことで色々と検証をしてみたところ、「マウスの故障」では無く「パソコンに原因」がありました。
原因
2.4GHzワイヤレスマウスとは、専用のレシーバーをパソコンのUSBに接続し2.4GHzのワイヤレスで接続するタイプのマウスです。Bluetoothマウスと違いペアリングの必要が無いのがメリットです。
「レシーバーをパソコンのUSBに接続する」「マウスの電源を入れる」だけで使えるようになりますが、「レシーバーが通電していない」「レシーバーと通信できない」と言った状態になると、マウスを動かしても「センサーが反応しない（光らない）」と言った状態になるようです。
このため、冒頭に記載した現象（一瞬だけ電源が入りその後すぐに電源が切れる）の原因は、「レシーバー側（パソコン側）に問題がある」と言えます。
対処
パソコンのUSBポートは抜き差しを行うため劣化しやすいため長く使っているパソコンでは接触不良などの問題が発生することがあります。このため、「レシーバーを指し直す」「他のUSBポートを使う」と言うのを試してみると解決するかもしれません。
今回の場合は「他のUSBポートを使う」ことで解決しました。以前より調子のおかしかったUSBポートで、普段は使っていませんが「レシーバーを指したら使えた」ので使っていました。ただ、やはり接触不良などが起きているようです。
また、USBポートが沢山あるようなパソコンでは他の接続しているデバイスによって電力が使われてしまい、レシーバーに充分な電力が供給されていないことも考えられるので、「他のデバイスを外してみる」と言うのを試してみると解決するかもしれません。